发展经济学｜附录A1-资本-劳动比率的提高和生产函数的移动

　　技术进步对经济增长贡献的变化，是增长类型变化的主要因素。在现代经济学中，技术进步被定义为生产函数的向上移动。生产函数可以写作：

$\begin{align} Y = F(L,K) \end{align}$

　　其中，$F$ 对 $L$ 和 $K$ 可微分，且满足：

　　前两个条件即为稻田条件。

　　假定 $F$ 是线性齐次生产函数，具有规模报酬不变的特征。那么，劳动生产率 $y=\frac Y K$ 可以表示为资本-劳动比率 $k=\frac K L$ 的函数。那么，原生产函数可以写作：

$\begin{align} y= f(k) \end{align}$

1. 技术水平恒定情况

　　当技术水平恒定（不存在技术进步）时，$f$ 的图像可以表示为：

劳动生产率增长的原理

　　假定在初始期 $t=0$，生产函数为 $y_0$，资本-劳动比率为 $k_0$，则 $y_0=f_0(k_0)$。此时，资本生产率 $Y/K$（资本与产出水平的倒数）为直线 $Oa$ 的斜率。

　　在 $t=1$ 时，由于不存在技术进步，生产函数仍为 $f_0$ 保持不变，资本-劳动比率 $k_0 \to k_1$，资本生产率将由直线 $Oa$ 斜率下降至直线 $Ob$ 斜率。

　　因此，若生产函数符合线性齐次特征且技术水平不变，单位劳动的资本使用量 $k = \frac K L$ 提高，会导致资本产出比率 $K/Y$ 提高。（投资效率降低）

　　经济增长，特别是人均产出的增加，大致可以分为两个阶段：

　　在第一阶段：有形资本积累

　　在 $t : 0 \to 1$ 的第一阶段，技术也并非保持不变。

　　假定该时期内，生产函数移动 $f_0 \to f_1$ 相对于资本-劳动比率 $k_0 \to k_1$ 增加很小，那么：

　　因此：$\frac {eb} {ec} \gt \frac {bc} {ec}$，即资本增长带来的产出增加效率更高、贡献更大，虽然投资增加会导致技术进步，体现在生产函数上移 $bc$，但是投资增加主要促进资本增长进而促进产出增加。

　　此时，直线 $Oc$ 的斜率小于直线 $Oa$ 的斜率，导致资本产出比率上升（投资效率降低）。

　　在第二阶段：无形资本积累

　　在 $t : 0 \to 2$ 的第二阶段，生产函数变动 $f_0 \to f_2$：

　　因此：$\frac {eb} {ed} \lt \frac {bd} {ed}$，即与资本增长相比，技术进步带来的生产函数上移是劳均生产率提高的主要来源。

　　此时，直线 $Od$ 的斜率大于直线 $Oa$ 的斜率，导致资本产出比率下降（投资效率提高）。

　　总结：

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