发展经济学｜附录A6-要素份额变化的数学分析

⚠️ 注意：本节的分析可能有误！

　　使用下图来解释要素份额变化的机制，其中曲线 $m$ 表示等产量线。

沿常规生产函数的要素替代

　　假定产出 $Y$ 由两种要素生产出来：质量调整后的劳动力 $X=EL$，质量调整后的资本投入 $Z=HK$。两种生产要素都使边际效率衡量：

$\begin{align} Y=M(X,Z) \end{align}$

质量调整后的劳动 $X=EL$：$E$ 为劳动生产效率，$L$ 为常规度量的劳动力（如工作时间）；
质量调整后的资本 $Z=HK$：$H$ 为资本生产效率，$K$ 为常规度量的资本。

　　假设上述生产函数与一般生产函数 $Y = F(L,K)$ 具有相同的特征（传送门：与一般生产函数的比较）：

$M$ 对 $X$、$M$ 对 $Z$ 可微
一阶导数为正：$M_X \gt 0$，$M_Z \gt 0$
二阶导数为负：$M_ {XX} \lt 0$，$M_ {ZZ} \lt 0$

　　假设竞争性的要素市场达到均衡，资本的收入份额为 $\beta =rK/Y = qZ/Y$

$\begin{align} \beta = \frac {M_Z Z } Y \end{align}$

　　其中，$q$ 为质量调整后资本 $Z$ 的边际资本报酬。将上式改为增长率的表达式，为：

$\begin{align} G(\beta) = G(M_Z) +G(Z) - G(Y) \end{align}$

　　由于假定 $M$ 是线性齐次的，因此（为什么能得到下面的关系？）：

$\begin{align} \begin{cases} M_X X + M_Z Z = Y \\ M_ {XX} X +M_ {XZ} Z=0 \\ M_ {ZX} X+M_ {ZZ} Z=0 \end{cases} \end{align}$

补充：

齐次生产函数是：若投入的全部生产要素增加（或减少）$\lambda$ 倍，总产出就增加（或减少）$\lambda ^n$ 倍，其中 $\lambda \neq 0$。

如果 $n=1$，则为线性齐次生产函数。此时要素投入变化和产出变化程度相同，具有规模报酬不变的特点。柯布-道格拉斯生产函数是典型的线性生产函数。

　　因此，要素替代弹性可以写作（为什么能得到下面的关系？）：

$\begin{align} \sigma = \frac {M_X M_Z / M_{XZ} } Y \end{align}$

　　由于 $(1-\beta ) = \frac {M_X X} {Y}$，因此：

$\begin{align} G(M_Z) =\frac { M_{XZ} dX + M_{ZZ} dZ } {M_Z} = \frac {1-\beta } {\sigma } \cdot [G(X) - G(Z) ] \end{align}$

　　同理可以计算出：

$\begin{align} G(Y) = (1-\beta )G(X) + \beta G(E) \end{align}$

　　将上述 $G(M_Z)$ 与 $G(Y)$ 的计算结果代入 $G(\beta)$ 的表达式，可得：

$\begin{aligned} G(\beta) & = G(M_Z) +G(Z) - G(Y) \\ & = (1-\beta ) \frac {\sigma -1 } {\sigma } \cdot [G(Z)-G(X) ] \\ & = (1-\beta ) \frac {\sigma -1 } {\sigma } \cdot \left \{ [G(K)+G(H) ] - [G(L) + G(E) ] \right \} \end{aligned}$

　　上式为资本收入份额的增长率，决定了资本的收入份额。

　　第一阶段 $OA \to OB$：生产函数 $M$ 的要素替代弹性很大，即 $\sigma \gt 1$，当 $G(K)+G(H) \gt G(L) + G(E)$ 时，资本的收入份额 $\beta$ 将会增加；

　　第二阶段 $OB \to OC$，根据希克斯的定义：

当生产函数 $M$ 的要素替代弹性比较小（$\sigma \lt 1$）时：
- $G(H) \gt G(E)$：资本节约型技术进步、劳动节约型技术进步
- $G(H) \lt G(E)$：资本利用型技术进步、劳动节约型技术进步
当生产函数 $M$ 的要素替代弹性比较大（$\sigma \gt 1$）时：
- $G(H) \gt G(E)$：资本节约型技术进步、劳动利用型技术进步
- $G(H) \lt G(E)$：资本节约型技术进步、劳动利用型技术进步

　　（在第二阶段的技术种类判定上，原书有问题）