发展经济学｜附录A6-要素份额变化的数学分析
⚠️ 注意：本节的分析可能有误！
使用下图来解释要素份额变化的机制，其中曲线 \(m\) 表示等产量线。
假定产出 \(Y\) 由两种要素生产出来：质量调整后的劳动力 \(X=EL\)，质量调整后的资本投入 \(Z=HK\)。两种生产要素都使边际效率衡量：
\[ \begin{align} Y=M(X,Z) \end{align} \]
- 质量调整后的劳动 \(X=EL\)：\(E\) 为劳动生产效率，\(L\) 为常规度量的劳动力（如工作时间）；
- 质量调整后的资本 \(Z=HK\)：\(H\) 为资本生产效率，\(K\) 为常规度量的资本。
假设上述生产函数与一般生产函数 \(Y = F(L,K)\) 具有相同的特征（传送门：与一般生产函数的比较）：
- \(M\) 对 \(X\)、\(M\) 对 \(Z\) 可微
- 一阶导数为正：\(M_X \gt 0\)，\(M_Z \gt 0\)
- 二阶导数为负：\(M_ {XX} \lt 0\)，\(M_ {ZZ} \lt 0\)
假设竞争性的要素市场达到均衡，资本的收入份额为 \(\beta =rK/Y = qZ/Y\)
\[ \begin{align} \beta = \frac {M_Z Z } Y \end{align} \]
其中，\(q\) 为质量调整后资本 \(Z\) 的边际资本报酬。将上式改为增长率的表达式，为：
\[ \begin{align} G(\beta) = G(M_Z) +G(Z) - G(Y) \end{align} \]
由于假定 \(M\) 是线性齐次的，因此（为什么能得到下面的关系？）：
\[ \begin{align} \begin{cases} M_X X + M_Z Z = Y \\ M_ {XX} X +M_ {XZ} Z=0 \\ M_ {ZX} X+M_ {ZZ} Z=0 \end{cases} \end{align} \]
补充：
齐次生产函数是：若投入的全部生产要素增加（或减少）\(\lambda\) 倍，总产出就增加（或减少）\(\lambda ^n\) 倍，其中 \(\lambda \neq 0\)。
如果 \(n=1\)，则为线性齐次生产函数。此时要素投入变化和产出变化程度相同，具有规模报酬不变的特点。柯布-道格拉斯生产函数是典型的线性生产函数。
因此，要素替代弹性可以写作（为什么能得到下面的关系？）：
\[ \begin{align} \sigma = \frac {M_X M_Z / M_{XZ} } Y \end{align} \]
由于 \((1-\beta ) = \frac {M_X X} {Y}\)，因此：
\[ \begin{align} G(M_Z) =\frac { M_{XZ} dX + M_{ZZ} dZ } {M_Z} = \frac {1-\beta } {\sigma } \cdot [G(X) - G(Z) ] \end{align} \]
同理可以计算出：
\[ \begin{align} G(Y) = (1-\beta )G(X) + \beta G(E) \end{align} \]
将上述 \(G(M_Z)\) 与 \(G(Y)\) 的计算结果代入 \(G(\beta)\) 的表达式，可得：
\[ \begin{aligned} G(\beta) & = G(M_Z) +G(Z) - G(Y) \\ & = (1-\beta ) \frac {\sigma -1 } {\sigma } \cdot [G(Z)-G(X) ] \\ & = (1-\beta ) \frac {\sigma -1 } {\sigma } \cdot \left \{ [G(K)+G(H) ] - [G(L) + G(E) ] \right \} \end{aligned} \]
上式为资本收入份额的增长率，决定了资本的收入份额。
第一阶段 \(OA \to OB\)：生产函数 \(M\) 的要素替代弹性很大，即 \(\sigma \gt 1\)，当 \(G(K)+G(H) \gt G(L) + G(E)\) 时，资本的收入份额 \(\beta\) 将会增加；
第二阶段 \(OB \to OC\)，根据希克斯的定义：
当生产函数 \(M\) 的要素替代弹性比较小（\(\sigma \lt 1\)）时：
- \(G(H) \gt G(E)\)：资本节约型技术进步、劳动节约型技术进步
- \(G(H) \lt G(E)\)：资本利用型技术进步、劳动节约型技术进步
当生产函数 \(M\) 的要素替代弹性比较大（\(\sigma \gt 1\)）时：
- \(G(H) \gt G(E)\)：资本节约型技术进步、劳动利用型技术进步
- \(G(H) \lt G(E)\)：资本节约型技术进步、劳动利用型技术进步
（在第二阶段的技术种类判定上，原书有问题）
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